Question

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）是二次函數(shù)，且f′（x）=0的兩根為0和2，若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（2m-3，

m2+2

2

）上存在最大值和最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）在開區(qū)間（2m-3，

m2+2

2

）上存在最大值和最小值，得

2m-3＜0 m2+2 2 ＞2

，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）是二次函數(shù)，
且f′（x）=0的兩根為0和2，
∴f′（x）=ax（x-2）=ax²-2ax，
∴f（x）=

1

3

ax3-ax²+c，
∵函數(shù)f（x）在開區(qū)間（2m-3，

m2+2

2

）上存在最大值和最小值，
∴

2m-3＜0 m2+2 2 ＞2

，解得

2

＜m＜

3

2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

2

，

3

2

）．
故答案為：（

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．