【題目】如圖所示，半圓弧所在平面與平面垂直，且是上異于，的點，，，.

（1）求證：平面；

（2）若為的中點，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點為，連接，利用勾股定理，證得，在利用面面垂直的性質，證得平面，最后利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；

（2）以為坐標原點，分別以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）取的中點為，連接，

因為，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，

又，，所以為正方形，不妨設，

則，，，

所以，即，

又平面平面，平面平面，所以平面，

又平面，所以，

因為是半圓弧上異于，的點，所以，又，

所以平面；

（2）取的中點為，連接，，則，所以，

當為的中點時，有，則，

因為平面平面，平面平面，所以平面，

以為坐標原點，分別以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

由（1）知，，，，，

，， ，

設是平面的一個法向量，則，即，

令，則，，，

設是平面的一個法向量，則，即，

令，則，，，

所以，

由圖可知所求二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數(shù)（）的檢測數(shù)據(jù)，結果統(tǒng)計如下：

空氣質量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

（1）從空氣質量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率；

（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失（單位：元）與空氣質量指數(shù)的關系式為，試估計該企業(yè)一個月（按30天計算）的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線與恰有一個公共點.

(Ⅰ)求曲線的極坐標方程；

(Ⅱ)已知曲線上兩點，滿足，求面積的最大值.

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲線y＝f（x）上總存在兩點M（x1，y1），N（x2，y2），使曲線y＝f（x）在M，N兩點處的切線互相平行，則x1＋x2的取值范圍為

A. （，＋∞） B. （，＋∞） C. [，＋∞） D. [，＋∞）

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【題目】如圖，已知拋物線，過拋物線上點B作切線交y軸于點

（Ⅰ）求拋物線方程和切點的坐標；

（Ⅱ）過點作拋物線的割線，在第一象限內的交點記為，，設為y軸上一點，滿足，為中點，求的取值范圍。

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【題目】已知正四面體的表面積為，為棱的中點，球為該正四面體的外接球，則過點的平面被球所截得的截面面積的最小值為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲線y＝f（x）上總存在兩點M（x1，y1），N（x2，y2），使曲線y＝f（x）在M，N兩點處的切線互相平行，則x1＋x2的取值范圍為

A. （，＋∞） B. （，＋∞） C. [，＋∞） D. [，＋∞）

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【題目】如圖，點在以為直徑的上運動，平面，且，點分別是、的中點．

（1）求證：；

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【題目】設為實常數(shù)，函數(shù)．

（1）當時，求的單調區(qū)間；

（2）設，不等式的解集為，不等式的解集為，當時，是否存在正整數(shù)，使得或成立．若存在，試找出所有的m；若不存在，請說明理由．

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