Question

【題目】設為實常數(shù)，函數(shù)．

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設，不等式的解集為，不等式的解集為，當時，是否存在正整數(shù)，使得或成立．若存在，試找出所有的m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)存在，

【解析】

（1）當時得，求導后發(fā)現(xiàn)在上單調(diào)遞增，且，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，，利用導數(shù)和零點存在定理知存在，使得，再對分和兩種情況進行討論.

解:（1），，

∵在上單調(diào)遞增，且，

∴在上負,在上正，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）設，

，，單調(diào)遞增．

又，（也可依據(jù)），

∴存在使得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又∵對于任意存在使得，

又，且有，

由零點存在定理知存在，使得，

故.

，

令，

由知在上單調(diào)遞減，

∴當時，

又∵，和均在各自極值點左側(cè),

結(jié)合單調(diào)性可知，

當時，，

成立，故符合題意．

當時，，

令，則，

∴當時，．

在上式中令，可得當時，有成立，

令，則，

，恒成立.

故有成立，

知當時，

又∵，在上單調(diào)遞增，

∴當時，，，

而，∴此時和均不成立.綜上可得存在符合題意.