Question

【題目】對于無窮數(shù)列，“若存在，必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì).

（1）若數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？是否具有性質(zhì)？

（2）對于無窮數(shù)列，設，求證：若數(shù)列具有性質(zhì)，則必為有限集；

（3）已知是各項均為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，是否存在正整數(shù)，，使得，，，…，，…成等差數(shù)列.若存在，請加以證明；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；

（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題中所給的條件，利用定義判斷可得數(shù)列不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)；

（2）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)，得到數(shù)列元素個數(shù)，從而證得結果；

（3）依題意，數(shù)列是各項為正數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，可證得存在整數(shù)，使得是等差數(shù)列.

（1）因為，

，但，所以數(shù)列不具有性質(zhì)，

同理可得數(shù)列具有性質(zhì)；

（2）因為數(shù)列具有性質(zhì)，

所以一定存在一組最小的且，滿足，即，

由性質(zhì)的含義可得，，，，

所以數(shù)列中，從第項開始的各項呈現(xiàn)周期性規(guī)律：

為一個周期中的各項，

所以數(shù)列中最多有個不同的項，

所以最多有個元素，即為有限集；

（3）因為數(shù)列具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，

所以存在，使得，

其中分別是滿足上述關系式的最小的正整數(shù)，

由性質(zhì)的含義可得，

若，則取，可得，

若，則取，可得，

記，則對于，

有，顯然，

由性質(zhì)的含義可得：，

所以

，

所以，

又滿足的最小的正整數(shù)，

所以，，

所以，

所以，

取，所以，若是偶數(shù)，則，

若是奇數(shù)，

則，

所以，，

所以是公差為1的等差數(shù)列.