Question

設(shè)是定義在[－1，1]上的偶函數(shù)，的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)x∈[ 2，3 ] 時(shí)，．
（1）求的解析式；
（2）若在上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)，使的圖象的最高點(diǎn)落在直線上？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∴
（2）a＞(6x²)_max＝6．
（3）證明見(jiàn)解析。

（1）當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，2－x∈[2，3]，f(x)＝g(2－x)＝－2ax＋4x³；當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝f(－x)＝2ax－4x³，
∴………………………………………4分
（2）由題設(shè)知，＞0對(duì)x∈恒成立，即2a－12x²＞0對(duì)x∈恒成立，于是，a＞6x²，從而a＞(6x²)_max＝6．………………………8分
（3）因f(x)為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)f(x)＝2ax－4x³在x∈的最大值．
令＝2a－12x²＝0，得．…10分    若∈，即0＜a≤6，則
，
故此時(shí)不存在符合題意的；
若＞1，即a＞6，則在上為增函數(shù)，于是．
令2a－4＝12，故a＝8．綜上，存在a ＝ 8滿足題設(shè)．………………13分
評(píng)析：本題通過(guò)函數(shù)的知識(shí)來(lái)切入到導(dǎo)數(shù)，是在這兩個(gè)重要知識(shí)的交匯處命題，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力與推理能力，函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是考得最熱的話題之一，也是本套試卷的把關(guān)題，對(duì)學(xué)生的要求較高．