Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對?x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，則

b2

a2+2c2

的最大值為（　�。�

• A、

  6

  +2
• B、

  6

  -2
• C、2

  2

  +2
• D、2

  2

  -2

Answer 1

考點：基本不等式,導(dǎo)數(shù)的運算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，可得導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=2ax+b，于是不等式f（x）≥f′（x）化為ax²+（b-2a）x+c-b≥0．由于對?x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，可得

a＞0 △=(b-2a)2-4a(c-b)≤0

，化為b²≤4ac-4a²．可得

b2

a2+2c2

≤

4ac-4a2

a2+2c2

=

4( c a -1)

1+2( 2 a )2

，令

c

a

=t＞1，可得

4( c a -1)

1+2( 2 a )2

=

4(t-1)

2t2+1

=

4

2(t-1)+ 3 t-1 +4

，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，可得導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=2ax+b，
∴不等式f（x）≥f′（x）化為ax²+（b-2a）x+c-b≥0．
∵對?x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，
∴

a＞0 △=(b-2a)2-4a(c-b)≤0

，
化為b²≤4ac-4a²．
∴

b2

a2+2c2

≤

4ac-4a2

a2+2c2

=

4( c a -1)

1+2( 2 a )2

，
令

c

a

=t＞1，則

4( c a -1)

1+2( 2 a )2

=

4(t-1)

2t2+1

=

4(t-1)

2(t-1)2+4(t-1)+3

=

4

2(t-1)+ 3 t-1 +4

≤

4

2 2(t-1)• 3 t-1 +4

=

2

6 +2

=

6

-2，當(dāng)且僅當(dāng)t=

6

2

+1時 取等號．
∴

b2

a2+2c2

的最大值為

6

-2．
故選：B．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．