19.在平面直角坐標(biāo)系中,已知$\vec m$=(sin(x+$\frac{π}{4}$),cosx),$\vec n$=(cos(x+$\frac{π}{4}$),cosx),f(x)=$\vec m$•$\vec n$.
(1)試求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若f($\frac{A}{2}$)=1,a=2,試求△ABC面積的最大值.

分析 (1)利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、誘導(dǎo)公式可得f(x),再利用三角函數(shù)的單調(diào)性周期性即可得出.
(2)利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式即可得出.

解答 解:(1)由已知可得:f(x)=$\frac{1}{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)(cos(x+$\frac{π}{4}$)+cosx•cosx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=cos2x+$\frac{1}{2}$,
∴T=π,單調(diào)遞增區(qū)間為:$[-\frac{π}{2}+kπ,π+kπ]$(k∈Z).
(2)$f(\frac{A}{2})=1⇒cosA+\frac{1}{2}=1⇒cosA=\frac{1}{2}⇒A=\frac{π}{3}$.
又∵a=2,∴a2=b2+c2-2bccosA,4=b2+c2-bc.
又∵b2+c2≥2bc(當(dāng)且僅當(dāng)“b=c”時(shí)取等號(hào))
∴y=b2+c2-bc≥bc.${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$.
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào).
∴${({S_{△ABC}})_{max}}=\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的單調(diào)性周期性、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.一元二次方程x2+(2k-1)x+k2=0兩個(gè)根均大于1的充分必要條件是( 。
A.k<-2B.k<-3C.k<0D.k>2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知函數(shù)y=sinx+acosx的圖象關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱,則函數(shù)y=asinx+cosx的圖象的一條對(duì)稱軸是( 。
A.x=$\frac{5π}{6}$B.x=$\frac{2π}{3}$C.x=$\frac{π}{3}$D.x=$\frac{π}{6}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.已知函數(shù)f(x)=2cos2$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-1,x∈R.
(I)求使得取f(x)得最大值的x的取值集合;
(II)若g(x)=x+f(x),求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.S=(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)+1,則合并同類項(xiàng)后S=(  )
A.(x-2)5B.(x+1)5
C.x5D.x5+5x4+10x3+10x2+5x+1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+$\frac{π}{4}$)cos(x+$\frac{π}{4}$)+cos2x.
(1)試求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若f($\frac{A}{2}$)=1,a=2,試求△ABC面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)E(1,0)的距離是它到點(diǎn)F(4,0)的距離的一半.
(I)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(II)已知點(diǎn)A,C,B,D是點(diǎn)M軌跡上的四個(gè)點(diǎn),且AC,BD互相垂直,垂足為M(1,1),求四邊形ABCD面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐際系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ (t為參數(shù)),
(Ⅰ)求C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求|AB|

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.已知點(diǎn)A(a,-2),直線l的斜率為2a且過定點(diǎn)(0,2),B,C為直線l上的動(dòng)點(diǎn)且|BC|=2$\sqrt{7}$,則△ABC的面積的最小值為(  )
A.$\sqrt{7}$B.7C.2$\sqrt{7}$D.14

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案