Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知射線θ=

π

4

與曲線

x=t+1 y=(t-1)2

（t為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：由射線θ=

π

4

可得直角坐標(biāo)方程：y=x（x≥0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中點(diǎn)M（x₀，y₀）．曲線

x=t+1 y=(t-1)2

（t為參數(shù)）消去參數(shù)t可得y=（x-2）²，把y=x代入可得x²-5x+4=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．

解答： 解：由射線θ=

π

4

可得直角坐標(biāo)方程：y=x（x≥0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中點(diǎn)M（x₀，y₀）．
曲線

x=t+1 y=(t-1)2

（t為參數(shù)）消去參數(shù)t可得y=（x-2）²，
把y=x代入可得x²-5x+4=0，
可得x₁+x₂=5，
∴x₀=

5

2

=y₀．
∴線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(

5

2

，

5

2

)．
故答案為：(

5

2

，

5

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把直線的參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、一元二次方程的根與系數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．