Question

【題目】正整數(shù)數(shù)列滿足（p，q為常數(shù)），其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和．

(1)若，，求證：是等差數(shù)列；

(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，求p的值；

(3)證明：的充要條件是．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或；（3）證明見解析.

【解析】

（1），時(shí)，，可得，時(shí)，，化為：，即可證明.

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，.

又，可得.比較兩邊的系數(shù)可得：，對分類討論，進(jìn)而得出．

（3）由，可得．由，利用遞推關(guān)系可得：，即.必要性：當(dāng)時(shí)，可得.充分性：反證法，當(dāng)時(shí)，可得，不滿足.當(dāng)時(shí)，同理可證明，不滿足.

（1），時(shí)，，可得.

時(shí)，，

整理為：，

∴，∴是等差數(shù)列.

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

∴，.

則，

∴①.

比較兩邊的系數(shù)可得：，

當(dāng)時(shí)，，解得，．

此時(shí)，，由（1）可得：是等差數(shù)列.

當(dāng)時(shí)，．由①比較常數(shù)項(xiàng)可得：，

則，，是等差數(shù)列.

綜上可得：或.

（3）證明：由，可得.

由，

相減可得：，即．

必要性：當(dāng)時(shí)，．

∴……，

∴.

充分性：反證法，當(dāng)時(shí)，

由，

又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，

∴，即，

∴，不滿足．當(dāng)時(shí)，

同理可證明，不滿足.