Question

若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則

OP

•

FP

的最大值為

6

．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），由數(shù)量積運(yùn)算及點(diǎn)P在橢圓上可把

OP

•

FP

表示為x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求其最大值．

解答：解：設(shè)P（x，y），
則

OP

•

FP

=（x，y）•（x+1，y）=x²+x+y²，
又點(diǎn)P在橢圓上，故

x2

4

+

y2

3

=1，
所以x²+x+（3-

3

4

x2）=

1

4

x2+x+3=

1

4

(x+2)2+2，
又-2≤x≤2，
所以當(dāng)x=2時(shí)，

1

4

(x+2)2+2取得最大值為6，即

OP

•

FP

的最大值為6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬中檔題．