Question

已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

解　(1)法一　設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)?i>AC⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3且x≠－1.

又k_AC＝，k_BC＝，且k_AC·k_BC＝－1，

所以·＝－1，化簡(jiǎn)得x²＋y²－2x－3＝0.

因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x²＋y²－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．

法二　設(shè)AB中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|＝|AB|＝2，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑長(zhǎng)的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)²＋y²＝4(x≠3且x≠－1)．

(2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)C(x₀，y₀)，因?yàn)?i>B(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝ (x≠3且x≠1)，y＝，于是有x₀＝2x－3，y₀＝2y.

由(1)知，點(diǎn)C在圓(x－1)²＋y²＝4(x≠3且x≠－1)上運(yùn)動(dòng)，將x₀，y₀代入該方程得(2x－4)²＋(2y)²＝4，

即(x－2)²＋y²＝1.

因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)²＋y²＝1(x≠3且x≠1)．