Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2x-m，
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)m=3時(shí)，判斷g（x）=

f(x)

x

+log₂

1-x

1+x

-2的奇偶性并給予證明；
（3）當(dāng)x∈[1，+∞]時(shí)，f（x）≥0恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m=3時(shí)，化簡(jiǎn)并令f（x）=x²+2x-3=0，從而解得；
（2）化簡(jiǎn)g（x）=

f(x)

x

+log₂

1-x

1+x

-2=

x2+2x-3

x

+log₂

1-x

1+x

-2；從而確定函數(shù)的定義域，再可判斷g（-x）=-g（x），從而證明為奇函數(shù)；
（3）配方得，f（x）=（x+1）²-m-1，從而化為m≤（x+1）²-1恒成立；再令g（x）=（x+1）²-1，對(duì)稱軸為x=-1，從而求g（x）_min即可．

解答： 解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，由f（x）=x²+2x-3=0解得x=-3或x=1，
所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是-3和1；
（2）證明：由（1）知，f（x）=x²+2x-3，
g（x）=

f(x)

x

+log₂

1-x

1+x

-2=

x2+2x-3

x

+log₂

1-x

1+x

-2；
由

x≠0 1-x 1+x ＞0

解得x∈（-1，0）∪（0，1），
故g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
又g（x）=

x2+2x-3

x

+log₂

1-x

1+x

-2=x-

3

x

+log₂

1-x

1+x

，
g（-x）=-（x-

3

x

+log₂

1-x

1+x

），
故g（-x）=-g（x），
故g（x）是奇函數(shù)．
（3）配方得，f（x）=（x+1）²-m-1，
∵x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，
即（x+1）²-m-1≥0恒成立，即m≤（x+1）²-1；
令g（x）=（x+1）²-1，對(duì)稱軸為x=-1，
則g（x）_min=g（1）=4-1=3，
∴m≤3，故m的最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及函數(shù)的奇偶性的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題，屬于中檔題．