橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點(diǎn)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在一象限橢圓C上存在一點(diǎn)P，使AP⊥OP，則橢圓的離心率范圍是
 
．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題
分析：由題意，點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上，求出該圓的方程；
由圓的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，得出該方程的兩根分別為點(diǎn)P、A的橫坐標(biāo)，得到P的橫坐標(biāo)；
再根據(jù)P的橫坐標(biāo)小于a且大于0，建立關(guān)于a、b、c的不等式，從而求得該橢圓離心率的取值范圍．
解答： 解：如圖所示，
∵AP⊥0P，∴點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO為直徑的圓方程為(x-
a
2
)2+y2=
a2
4
，即x2+y2-ax=0，
由
x2
a2
+
y2
b2
=1
x2+y2-ax=0
消去y，得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0．
設(shè)P（m，n），
∵P、A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1與x2+y2-ax=0兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴m+a=
-a3
b2-a2
，ma=
-a2b2
b2-a2
，
∴m=
ab2
a2-b2
．
∵由圖形得0＜m＜a，∴0＜
ab2
a2-b2
＜a，
即b2＜a2-b2，可得a2-c2＜c2，得a2＜2c2
∴a＜
2
c，
∴橢圓離心率e=
c
a
＞
2
2
，
又∵e∈（0，1），
∴橢圓的離心率e的取值范圍為（
2
2
，1）．
故答案為：（
2
2
，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)注意橢圓以及離心率滿(mǎn)足的條件是什么，是中檔題目．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，an+1=an+a（n∈N*，a為常數(shù)），若平面上的三個(gè)不共線(xiàn)的非零向量
OA
，
OB
，
OC
滿(mǎn)足
OC
=
a1
2
OA
+
a2013
2
OB
，三點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)且該直線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)O，則S2013的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是虛軸的上端點(diǎn)．若在線(xiàn)段BF上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)Pi（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）構(gòu)成以A1A2為斜邊的直角三角形，則雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
（x≠0，a∈R）
（1）當(dāng)a=4時(shí)，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有三個(gè)命題：
①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行；
②過(guò)平面α的一條斜線(xiàn)l有且僅有一個(gè)平面與α垂直；
③異面直線(xiàn)a、b不垂直，那么過(guò)a的任一個(gè)平面與b都不垂直
④若直線(xiàn)a不平行于平面α，則平面α內(nèi)所有的直線(xiàn)都與a異面
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
(-1)nsin
πx
2
+2n，x∈[2n，2n+1)
(-1)n+1sin
πx
2
+2n+2，x∈[2n+1，2n+2)
(n∈N)，若數(shù)列{an}滿(mǎn)足am=f（m）（m∈N*），數(shù)列{am}的前m項(xiàng)和為Sm，則S104-S96=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知關(guān)于x的方程x2-2tx-1=0的兩不等實(shí)根為x1，x2（x1＜x2），函數(shù)f（x）=
x-t
x2+1
的定義域?yàn)閇x1，x2]．
（1）求f（x1）•f（x2）的值；
（2）設(shè)maxf（x）表示函數(shù)f（x）的最大值，minf（x）表示函數(shù)f（x）的最小值，記函數(shù)g（t）=maxf（x）-minf（x），求函數(shù)h（t）=g（log2t）•g（log12）在t∈（1，2]的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若不等式|2-x|≤3，則y=x2-1的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}中，a1=3，a4a1+a2a7=42，則a4+a8=
 
．

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