Question

已知雙曲線x²-y²=1，點(diǎn)A是它的左頂點(diǎn)，c是它的半焦距，點(diǎn)B（c²，0），點(diǎn)P是雙曲線右支上的點(diǎn)，且滿足AP⊥BP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的a，b，c，可得A、B的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)（m，n），由兩直線垂直的條件結(jié)合斜率公式可得m，n的關(guān)系，聯(lián)立m²-n²=1，即可解得m，n．

解答： 解：雙曲線x²-y²=1的a=1，b=1，c=

2

，
則A（-1，0），B（2，0），設(shè)P（m，n）（m＞0），
由AP⊥BP，即有k_APk_BP=-1，
即

n

m+1

•

n

m-2

=-1，
即有n²=-（m+1）（m-2），
又m²-n²=1，即n²=m²-1，
由1-m²=（m+1）（m-2）．
解得m=

3

2

（-1舍去），
即有n²=

9

4

-1，解得n=±

5

2

，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，

5

2

）或（

3

2

，-

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查兩直線垂直的條件和斜率公式，運(yùn)用點(diǎn)在曲線上滿足曲線方程，聯(lián)立方程求解是解題的關(guān)鍵．