Question

根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為：x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）①寫(xiě)出x₁，x₂，x₃，x₄，②求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n；
（2）寫(xiě)出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出數(shù)列{y_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式y(tǒng)_n，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）由程序框圖可知：
x_n+1=x_n+2…（1分）
x₁=1，x₂=3，x₃=5，x₄=7…（4分）
∴{x_n}是首項(xiàng)為x₁=1公差為2的等差數(shù)列
∴x_n=1+（n-1）2=2n-1
即{x_n}的通項(xiàng)公式為x_n=2n-1…（7分）
（2）由程序框圖可知y_n+1=3y_n+2…（8分）
∵y₁=2，∴y₂=8，y₃=26，y₄=80…（11分）
猜想y_n=3ⁿ-1，以下為證明…（12分）…
∵y_n+1=3y_n+2，∴y_n+1+1=3（y_n+1），
∴{y_n+1}是首項(xiàng)為y₁+1=3，公比為3
的等比數(shù)列，∴y_n+1=3ⁿ，∴y_n=3ⁿ-1．…（14分）
分析：（1）由由程序框圖可知x_n+1=x_n+2，x₁=1，代入遞推公式可得x₁，x₂，x₃，x₄，的值，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得{x_n}是首項(xiàng)為x₁=1公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而得到其通項(xiàng)公式；
（2）由程序框圖可知y_n+1=3y_n+2，y₁=2，代入遞推公式可得y₁，y₂，y₃，y₄，的值，進(jìn)而猜想出數(shù)列{y_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式y(tǒng)_n，理由綜合法，可證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是循環(huán)結(jié)構(gòu)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差關(guān)系的確定，等比關(guān)系的確定，正確理解流程圖所表示的含義，分析出數(shù)列{x_n}與數(shù)列{y_n}的遞推公式，即可得到答案．