【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設(shè)點.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由"左焦點為，右頂點為"得到橢圓的半長軸，半焦距，再求得半短軸最后由橢圓的焦點在軸上求得方程；（2）設(shè)線段的中點為，點的坐標(biāo)是，由中點坐標(biāo)公式，分別求得，代入橢圓方程，可求得線段中點的軌跡方程；（3）分直線垂直于軸時和直線不垂直于軸兩種情況分析，求得弦長，原點到直線的距離建立三角形面積模型，再用基本不等式求其最值.

試題解析：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)線段的中點為，點的坐標(biāo)是，

由，得

點在橢圓上，得

∴線段中點的軌跡方程是.

（3）當(dāng)直線垂直于軸時， ，因此的面積.

當(dāng)直線不垂直于軸時，該直線方程為，代入，

解得， ，

則，又點到直線的距離，

∴的面積

于是

由，得，其中，當(dāng)時，等號成立.

∴的最大值是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分，（1）小問5分，（2）小問7分）

如圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且

（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若求橢圓的離心率

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【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列對應(yīng)值如下表：

x

y

﹣1

1

3

1

﹣1

1

3


（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的一個解析式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)y=f（kx）（k＞0）周期為 ，當(dāng) 時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若對任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.[3，+∞）
D.（0，3]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，點A（3，5）．
（1）求過點A的圓的切線方程；
（2）O點是坐標(biāo)原點，連接OA，OC，求△AOC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是關(guān)于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一個解，求t的值；
（2）當(dāng)0＜a＜1且t=﹣1時，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函數(shù)F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在區(qū)間（﹣1，2]上有零點，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中，真命題是（ ）
A.若 與 互為負(fù)向量，則 + =0
B.若 =0，則 = 或 =
C.若 ， 都是單位向量，則 =1
D.若k為實數(shù)且k = ，則k=0或 =

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】養(yǎng)正中學(xué)新校區(qū)內(nèi)有一塊以O為圓心，R（單位：米）為半徑的半圓形荒地（如圖），�？倓�(wù)處計劃對其開發(fā)利用，其中弓形BCD區(qū)域（陰影部分）用于種植觀賞植物，△OBD區(qū)域用于種植花卉出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售。已知種植觀賞植物的成本是每平方米20元，種植花卉的利潤是每平方米80元，種植草皮的利潤是每平方米30元。

（1）設(shè)（單位：弧度），用表示弓形BCD的面積

（2）如果該�？倓�(wù)處邀請你規(guī)劃這塊土地。如何設(shè)計的大小才能使總利潤最大？并求出該最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+ （其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），（2， ）兩點．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性．

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