Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ（1-x）²在[

1

2

，1]上的最大值為a_n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求函數(shù)f_n（x）的導(dǎo)函數(shù)f_n′（x），以及a₁，a₂；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并求證對任何正整數(shù)n（n≥2），都有a_n≤

1

(n+2)2

成立；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：對任意正整數(shù)n，都有S_n＜

7

16

成立．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，取n=1時得到當(dāng)x∈[

1

2

，1]時，f₁'（x）≤0，即函數(shù)f₁（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，由此求得a₁的值．取n=2時，得到當(dāng)x∈[

1

2

，1]時，f₂'（x）≤0，即函數(shù)f₂（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，由此求得a₂的值；
（Ⅱ）由導(dǎo)函數(shù)等于0求出導(dǎo)函數(shù)的零點，由單調(diào)性得到當(dāng)n≥3時，f_n（x）在x=

n

n+2

處取得最大值，驗證n=2時成立，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅲ）把a_n≤

1

(n+2)2

放大，然后列項求和，則不等式得到證明．

解答： （Ⅰ）解：∵f_n（x）=xⁿ（1-x）²，
∴fn′(x)=n•xn-1(1-x)2-2xn(1-x)=x^n-1（1-x）[n（1-x）-2x]．
當(dāng)n=1時，f₁'（x）=（1-x）（1-3x），
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時，f₁'（x）≤0，即函數(shù)f₁（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，
∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，
當(dāng)n=2時，f₂'（x）=2x（1-x）（1-2x），
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時，f₂'（x）≤0，即函數(shù)f₂（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，
∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

；
（Ⅱ）令f_n'（x）=0得x=1或x=

n

n+2

，
∵當(dāng)n≥3時，

n

n+2

∈[

1

2

，1]，且當(dāng)x∈[

1

2

，

n

n+2

）時，f_n'（x）＞0，
當(dāng)x∈（

n

n+2

，1]時，f_n'（x）＜0，
故f_n（x）在x=

n

n+2

處取得最大值，
即當(dāng)n≥3時，an=fn(

n

n+2

)=(

n

n+2

)n(

n

n+2

)2=

4nn

(n+2)n+2

，
當(dāng)n=2時上式仍然成立，
綜上得an=

1 8 (n=1) 4nn (n+2)n+2 (n≥2)

．
當(dāng)n≥2時，要證

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，
只需證明(1+

2

n

)n≥4，
∵(1+

2

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

2

n

)+…+

C

n n

(

2

n

)n≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

=1+2+

2(n-1)

n

，
由n≥2，得2n≥n+2，則2n-2≥n，
∴

2(n-1)

n

≥1，
則(1+

2

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

2

n

)+…+

C

n n

(

2

n

)n≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

=1+2+

2(n-1)

n

≥1+2+1=4．
∴對任意n∈N^*（n≥2），都有a_n≤

1

(n+2)2

成立；
（Ⅲ）∵當(dāng)n≥2時，有a_n≤

1

(n+2)2

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
∴S_n＜

1

8

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

11

24

-

1

n+2

＜

11

24

＜

7

16

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)列的求和，訓(xùn)練了利用放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．