設(shè)函數(shù)fn(x)=xn(1-x)2在[
1
2
,1]上的最大值為an(n=1,2,3,…).
(Ⅰ)求函數(shù)fn(x)的導(dǎo)函數(shù)fn′(x),以及a1,a2
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式,并求證對任何正整數(shù)n(n≥2),都有an
1
(n+2)2
成立;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求證:對任意正整數(shù)n,都有Sn
7
16
成立.
考點:數(shù)列的求和,導(dǎo)數(shù)的運算
專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),取n=1時得到當(dāng)x∈[
1
2
,1]時,f1'(x)≤0,即函數(shù)f1(x)在[
1
2
,1]上單調(diào)遞減,由此求得a1的值.取n=2時,得到當(dāng)x∈[
1
2
,1]時,f2'(x)≤0,即函數(shù)f2(x)在[
1
2
,1]上單調(diào)遞減,由此求得a2的值;
(Ⅱ)由導(dǎo)函數(shù)等于0求出導(dǎo)函數(shù)的零點,由單調(diào)性得到當(dāng)n≥3時,fn(x)在x=
n
n+2
處取得最大值,驗證n=2時成立,則數(shù)列{an}的通項公式可求;
(Ⅲ)把an
1
(n+2)2
放大,然后列項求和,則不等式得到證明.
解答: (Ⅰ)解:∵fn(x)=xn(1-x)2,
fn(x)=n•xn-1(1-x)2-2xn(1-x)=xn-1(1-x)[n(1-x)-2x].
當(dāng)n=1時,f1'(x)=(1-x)(1-3x),
當(dāng)x∈[
1
2
,1]時,f1'(x)≤0,即函數(shù)f1(x)在[
1
2
,1]上單調(diào)遞減,
a1=f1(
1
2
)
=
1
8
,
當(dāng)n=2時,f2'(x)=2x(1-x)(1-2x),
當(dāng)x∈[
1
2
,1]時,f2'(x)≤0,即函數(shù)f2(x)在[
1
2
,1]上單調(diào)遞減,
a2=f2(
1
2
)
=
1
16
;
(Ⅱ)令fn'(x)=0得x=1或x=
n
n+2

∵當(dāng)n≥3時,
n
n+2
∈[
1
2
,1],且當(dāng)x∈[
1
2
,
n
n+2
)時,fn'(x)>0,
當(dāng)x∈(
n
n+2
,1]時,fn'(x)<0,
故fn(x)在x=
n
n+2
處取得最大值,
即當(dāng)n≥3時,an=fn(
n
n+2
)
=(
n
n+2
)n(
n
n+2
)2
=
4nn
(n+2)n+2
,
當(dāng)n=2時上式仍然成立,
綜上得an=
1
8
(n=1)
4nn
(n+2)n+2
(n≥2)

當(dāng)n≥2時,要證
4nn
(n+2)n+2
1
(n+2)2
,
只需證明(1+
2
n
)n
≥4,
(1+
2
n
)n
=
C
0
n
+
C
1
n
(
2
n
)+…+
C
n
n
(
2
n
)n
≥1+2+
n(n-1)
2
4
n2
=1+2+
2(n-1)
n
,
由n≥2,得2n≥n+2,則2n-2≥n,
2(n-1)
n
≥1
,
(1+
2
n
)n
=
C
0
n
+
C
1
n
(
2
n
)+…+
C
n
n
(
2
n
)n
≥1+2+
n(n-1)
2
4
n2
=1+2+
2(n-1)
n
≥1+2+1=4.
∴對任意n∈N*(n≥2),都有an
1
(n+2)2
成立;
(Ⅲ)∵當(dāng)n≥2時,有an
1
(n+2)2
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2

∴Sn
1
8
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+…+
1
n+1
-
1
n+2
=
11
24
-
1
n+2
11
24
7
16
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)列的求和,訓(xùn)練了利用放縮法證明數(shù)列不等式,是壓軸題.
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在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知
2a+b
c
=
cos(A+C)
cosC

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已知函數(shù)f(x)=-4lnx-
1
2
ax2+x,其中a∈R.
(Ⅰ)若a=-
1
2
,求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=-
1
3
x3+
1
2
(a+2)x2+2(a+4)x,存在兩個整數(shù)m、n,使得函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間(m,n)上都是增函數(shù),求n的最大值,及n取最大值時a的取值范圍.

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(2)若an2=(
1
2
 bn,cn=
bn
an
,求數(shù)列{cn}的前n項和.

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(Ⅰ)求f(x)與g(x)的解析式;
(Ⅱ)若F(x)=exg(x)-λ[f(x)+x2]在[-2,0]上是增函數(shù),求實數(shù)λ的取值范圍.

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某數(shù)學(xué)老師對本校2013屆高三學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績按1:200進行分層抽樣抽取了20名學(xué)生的成績,并用莖葉圖記錄分數(shù)如圖所示,但部分數(shù)據(jù)不小心丟失,同時得到如下所示的頻率分布表:
分數(shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)總計
頻數(shù)b
頻率a0.25
(1)求表中a,b的值及分數(shù)在[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù),并估計這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率(分數(shù)在[90,150)內(nèi)為及格):
(2)從成績在[100,120)范圍內(nèi)的學(xué)生中隨機選2人,求其中恰一人成績在[100,110)內(nèi)的概率.

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