Question

13．我國唐代詩人王維詩云：“明月松間照，清泉石上流”，這里明月和清泉，都是自然景物，沒有變，形容詞“明”對“清”，名詞“月”對“泉”，詞性不變，其余各詞均如此．變化中的不變性質(zhì)，在文學(xué)和數(shù)學(xué)中都廣泛存在．比如我們利用幾何畫板軟件作出拋物線C：x²=y的圖象（如圖），過交點(diǎn)F作直線l交C于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作C的切線，兩切線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于點(diǎn)N，拖動(dòng)點(diǎn)B在C上運(yùn)動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)$\frac{|NP|}{|NF|}$是一個(gè)定值，該定值是1．

Answer 1

分析 線段AB是過拋物線x²=y焦點(diǎn)F的弦，過A，B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn)．N點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．根據(jù)拋物線的定義知：NF=NP，∴現(xiàn)$\frac{|NP|}{|NF|}$是一個(gè)定值1．

解答 解：線段AB是過拋物線x²=y焦點(diǎn)F的弦，過A，B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn)．N點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．下面證明
證明：由拋物線x²=y，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，$\frac{1}{4}$）．
設(shè)A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
直線l：y=kx+$\frac{1}{4}$代入拋物線x²=y得：x²-kx-$\frac{1}{4}$=0．
∴x₁x₂=-$\frac{1}{4}$…①．
又拋物線方程為：y=x²，
求導(dǎo)得y′=2x，
∴拋物線過點(diǎn)A的切線的斜率為2x₁，切線方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）…②
拋物線過點(diǎn)B的切線的斜率為2x₂，切線方程為yx₂²-=2x₂（x-x₂）…③
由①②③得：y=-$\frac{1}{4}$．
∴P的軌跡方程是y=-$\frac{1}{4}$，即N在拋物線的準(zhǔn)線上；
根據(jù)拋物線的定義知：NF=NP，∴$\frac{|NP|}{|NF|}$是一個(gè)定值1．
故答案為：1

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，對運(yùn)算能力的要求比較高，屬于難題．