Question

如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為(10，0)，點C的坐標為(0，10)．分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A₁，A₂，…A₉和B₁，B₂，…B₉，連結(jié)OB_i，過A_i做x軸的垂線與OB_i交于點P_i(i∈N*，1≤i≤9)．

(1)求證：點P_i(i∈N^*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；

(2)過點C做直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4∶1，求直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查拋物線的性質(zhì)．直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想．函數(shù)與方程思想．滿分13分． 　　解：(Ⅰ)依題意，過Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x＝i 　　，直線OBi的方程為 　　設(shè)Pi坐標為(x，y)，由得：，即x2＝10y， 　　都在同一條拋物線上，且拋物線E方程為x2＝10y 　　(Ⅱ)依題意：直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋10 　　由得 　　此時△＝100k2＋400＞0，直線l與拋物線E恒有兩個不同的交點M，N 　　設(shè)：，則 　　 　　又， 　　分別帶入，解得 　　直線l的方程為，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0