Question

如圖1所示是一個(gè)幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖和側(cè)視圖（尺寸如圖所示，單位cm）；
（Ⅰ）求異面直線CE與PD所成角的正切值；
（Ⅱ）求三棱錐A-EPC的體積；
（Ⅲ）如圖2所示F是線段PD上的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過F分別作直線AD、PA的垂線，垂足為H、G，設(shè)AH長為x，三棱錐F-PEG與三棱錐F-HCD的體積之和為y，問當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最�。坎⑶蟪鲈撟钚≈担�

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取PA中點(diǎn)E₁，證明CE∥DE₁，可得∠PDE₁是異面直線CE與PD所成的角，即可求異面直線CE與PD所成角的正切值；
（Ⅱ）利用V_{三棱錐A-EPC}=V_{三棱錐C-PAE}，求三棱錐A-EPC的體積；
（Ⅲ）由三視圖知：VF-PFG=

1

3

(

1

2

•

3

2

x•4)x=x2，VF-HCD=

1

3

[

1

2

•(4-x)•4]

3

2

(4-x)=(4-x)2，可得三棱錐F-PEG與三棱錐F-HCD的體積之和，利用配方法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）取PA中點(diǎn)E₁，由BE∥AB，AB=BE=3，∴四邊形ABEE₁是平行四邊形，
∴E₁E∥AB且E₁E=AB，∴E₁E∥CD且E₁E=CD，
∴四邊形E₁ECD是平行四邊形，
∴CE∥DE₁，∴∠PDE₁是異面直線CE與PD所成的角…（2分）
設(shè)∠PDA=α，∠E₁DA=β，則tanα=

3

2

，tanβ=

3

4

，
∴tan∠PDE1=tan(α-β)=

3 2 - 3 4

1+ 9 8

=

6

17

，
∴異面直線CE與PD所成的角的正切值為

6

17

…（4分）
（II）由于三棱錐A-EPC與三棱錐C-PAE是同一幾何體，
所以，V_{三棱錐A-EPC}=V_{三棱錐C-PAE}=

1

3

×S△PAE×BC=

1

3

×12×4=16（cm³）…（8分）
（III）依題意得HD=4-x，由

FH

HD

=

6

4

，
∴FH=

3

2

(4-x)，PG=

3

2

x(0＜x＜4)，
由三視圖知：VF-PFG=

1

3

(

1

2

•

3

2

x•4)x=x2，VF-HCD=

1

3

[

1

2

•(4-x)•4]

3

2

(4-x)=(4-x)2，
∴y=x²+（4-x）²=2x²-8x+16，x∈（0，4）…（10分）
y=2x²-8x+16=2（x-2）²+8，當(dāng)x=2時(shí)，y_min=8（cm³）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角，考查三棱錐的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐的體積是關(guān)鍵．