Question

設(shè)F是拋物線C：y²=4x的焦點，過點A(-1，0)的直線l與拋物線C相交于M、N兩點．

(Ⅰ)求線段MN的中點軌跡方程；

(Ⅱ)若，求直線l的方程．

Answer 1

解：設(shè)l的方程為y=k(x+1)

由 得k²x²+(2k²-4)x+k²=0

因為l與C有兩個不同的交點，所以

解之得，-1＜k＜1，且k≠0．

(Ⅰ)設(shè)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，則

x₁+x₂=  ，x₁x₂=1

設(shè)MN的中點P(x，y)，則x=，

又y=k(x+1)  消去k得y²=2(x+1)

∵-1＜k＜1，且k≠0，∴x=＞1

∴MN的中點P(x，y)的軌跡方程為：

y²=2(x+1)(x＞1)

(Ⅱ)F(1，0)，=(x₁-1，y₁)，=(x₂-1，y₂)，

若⊥,則·=0，

即(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂==0

∴8k²-4=0，k=±．

∴直線l的方程為：y=±(x+1).