已知△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足
P0B
=
1
4
AB
，且對于AB上任一點P，恒有
PB
•
PC
≥
P0B
•
P0C
．若A=
π
3
，|
AC
|=2，則△ABC的面積為
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：計算題,解三角形,平面向量及應用
分析：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，設AB=4t，C（a，b），P（x，0），然后由題意可寫出
P0B
，
PB
，
PC
，
P0C
，然后由
PB
•
PC
≥
P0B
•
P0C
，結合向量的數(shù)量積的坐標表示，可得關于x的二次不等式，結合二次不等式的知識可求a，進而可判斷三角形的形狀，再由三角形的面積公式計算即可得到．
解答： 解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸
建立直角坐標系，
設AB=4t，C（a，b），P（x，0）（-2t＜x＜2t），
則BP0=t，A（-2t，0），B（2t，0），P0（t，0）
∴
P0B
=（t，0），
PB
=（2t-x，0），
PC
=（a-x，b），
P0C
=（a-t，b）
∵恒有
PB
•
PC
≥
P0B
•
P0C
，
∴（2t-x）（a-x）≥t（a-t）恒成立
整理可得x2-（a+2t）x+at+t2≥0恒成立
令f（x）=x2-（a+2t）x+at+t2，
當
a+2t
2
＜-2t，必有f（-2t）≥0，無解；
當
a+2t
2
＞2，必有f（2t）≥0，無解；
當-2t≤
a+2t
2
≤2t，必有△=（a+2t）2-4（at+t2）≤0
即△=a2≤0，
∴a=0，即C在AB的垂直平分線上，
∴AC=BC，
故△ABC為等腰三角形，
若A=
π
3
，|
AC
|=2，則三角形ABC為等邊三角形，
則面積為S=
3
4
×4=
3
．
故答案為：
3
．
點評：本題主要考查了平面向量的運算，向量的模及向量的數(shù)量積的概念，向量運算的幾何意義的應用，還考查了利用向量解決簡單的幾何問題的能力，以及三角形的面積公式的運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c•sinA+
3
a•cosC=0．
（1）求角C的大�。�
（2）若a=8，b=5，D為AB的中點，求CD的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC內(nèi)接于直徑為F1，F(xiàn)2的圓P，過點A作圓O的切線交CB的延長線于點P，∠BAC的平分線分別交BC和圓O于點D、E，若PA=2PB=10
（1）求證：AC=2AB；
（2）求AD•DE的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=（n2-2n+1）x n2-2在（0，+∞）上是增函數(shù)，
a
=（sinθ，-2），
b
=（1，cosθ），g（x）=f（sinx+cosx）+2
3
cos2x．
（1）當
a
⊥
b
時，求g（θ）的值；
（2）求g（x）的最大值以及使g（x）取最大值的x的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，一個半徑為R的圓上一點A（
3
，1），動點P從點A出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速運動，設t時刻時，P點坐標為（x（t），y（t）），其中t∈[2，6]時，y（t）單調遞減，且y（6）=y（10），則0≤t≤10時，數(shù)量積
AP
•
AB
的最大值為（　�。�
A、4B、6C、10D、12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=x2-ax+a2-2a-3，有x0∈[-1，0]，使得f（x0）＞0成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點F是拋物線y2=4x的焦點，M，N是該拋物線上兩點，|MF|+|NF|=6，M，N，F(xiàn)三點不共線，則△MNF的重心到準線距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a
x
-x，對?x∈（0，1），有f（x）-f（x-1）≥1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　�。�
A、（-∞，-2）∪（0，2）
B、（-2，0）∪（0，2）
C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
D、（-2，0）∪（2，+∞）

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