Question

在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c•sinA+

3

a•cosC=0．
（1）求角C的大��；
（2）若a=8，b=5，D為AB的中點，求CD的長度．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，由sinA不為0，求出tanC的值，即可確定出C的度數；
（2）延長CD到E，使DE=CD，則CE=2CD，連接AE，再由CD為中線，得到AD=BD，以及對頂角相等，利用SAS得到三角形CBD與三角形EAD全等，利用全等三角形對應邊相等，對應角相等得到AE=BC=a=8，∠AED=∠BCD，進而求出∠CAE的度數，在三角形ACE中，利用余弦定理求出CE的長，即可求出CD的長．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡得：sinCsinA+

3

sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴sinC+

3

cosC=0，即tanC=-

3

，
∵C為三角形內角，
∴C=120°；
（2）延長CD到E，使DE=CD，則CE=2CD，連接AE，
∵CD為△ABC的中線，
∴AD=BD，
∵∠ADE=∠BDC，
∴△BCD≌△AED，
∴AE=BC=a=8，∠AED=∠BCD，CD=ED，
∴∠AED+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=120°，
∴∠CAE=180°-（∠AED+∠ACD）=180°-120°=60°，
在△ACE中，由余弦定理得：CE²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠CAE=25+64-40=49，
解得：CE=7，
則CD=

1

2

CE=3.5．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．