Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

n+1

2

an+1（n∈N^*），求通項(xiàng)a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已恬得na_n=

n+1

2

an+1-

n

2

an，從而

an+1

an

=

3n 2

n+1 2

=

3n

n+1

，由此利用累乘法能求出通項(xiàng)a_n．

解答： 解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

n+1

2

an+1（n∈N^*），①
∴a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=

n

2

an，（n∈N^*），②
①-②，得：na_n=

n+1

2

an+1-

n

2

an，
∴

3n

2

an=

n+1

2

an+1，
∴

an+1

an

=

3n 2

n+1 2

=

3n

n+1

，
∵a₁=1，
∴an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=1×

3

2

×

6

3

×

9

4

×…×

3n-3

n

=

3n-1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法的合理運(yùn)用．