Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=x²+

a

x

（a＞0）的最小值為3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求不等式|x-a|+|x+1|≤4的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,基本不等式

專題：不等式

分析：（Ⅰ）因?yàn)閍＞0，x＞0，得到x²+

a

x

≥3

3	x2• a 2x • a 2x

=3

3	a2 4

，當(dāng)且僅當(dāng)x²=

a

2x

，即x=

3	a 2

時等號成立，從而求出a的值；
（Ⅱ）原不等式等價(jià)于

x≥2 x-2+x+1≤4

或

-1≤x＜2 2-x+x+1≤4

或

x＜-1 2-x-x-1≤4

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閍＞0，x＞0，根據(jù)三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式，得
f（x）=x²+

a

x

=x²+

a

2x

+

a

2x

≥3

3	x2• a 2x • a 2x

=3

3	a2 4

，當(dāng)且僅當(dāng)x²=

a

2x

，即x=

3	a 2

時等號成立，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最小值為3，所以3

3	a2 4

=3，（a＞0），
解得：a=2．
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：|x-2|+|x+1|≤4．
原不等式等價(jià)于

x≥2 x-2+x+1≤4

或

-1≤x＜2 2-x+x+1≤4

或

x＜-1 2-x-x-1≤4

，
解得-

3

2

≤x≤

5

2

．所以原不等式解集為{x|-

3

2

≤x≤

5

2

}．
解法二：由（Ⅰ）得：|x-2|+|x+1|≤4．
由絕對值的幾何意義，可知該不等式即求數(shù)軸上到點(diǎn)2和點(diǎn)-1的距離之和不大于4的點(diǎn)的集合．
故原不等式解集為{x|-

3

2

≤x≤

5

2

}．

點(diǎn)評：本小題主要考查平均值不等式、解含有絕對值號的不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．