Question

10．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角A-BC₁-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導出CC₁⊥AC，AC⊥BC，從而AC⊥平面BCC₁B₁．由此能證明AC⊥BC₁．
（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，則DE∥AC₁．由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
（3）設(shè)CB₁與BC₁交于點H，連接AH，則∠AHC即為二面角A-BC₁-C的平面角．由此能求出二面角A-BC₁-C的平面角的正切值．

解答 （本小題滿分12分）（若用向量法給相應的分數(shù)）
證明：（1）∵三棱柱是ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，
∴CC₁⊥AC，
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴三角形ABC是直三角形，且AC⊥BC，
∵CC₁∩BC=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
∵BC₁?平面BCC₁B，∴AC⊥BC₁．…（4分）
（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，
又四邊形BCC₁B₁為正方形．
∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，∴DE∥AC₁．
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．…（8分）
解：（3）由已知可得AB=AC₁=5，CB=CC₁=4，
設(shè)CB₁與BC₁交于點H，連接AH，
則AH⊥BC₁，CH⊥BC₁，
∴∠AHC即為二面角A-BC₁-C的平面角．
由（1）可知AC⊥CH，
∴在Rt△AHC中，$tan∠AHC=\frac{AC}{CH}=\frac{3}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
即二面角A-BC₁-C的平面角的正切值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．…（12分）

點評 本題考查線線垂直、線面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．