Question

5．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為B，若△BF₁F₂的周長為6，且點(diǎn)F₁到直線BF₂的距離為b．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A₁，A₂是橢圓C長軸的兩個端點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，直線A₁P交直線x=14于點(diǎn)M，求證：以MP為直徑的圓過點(diǎn)A₂．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}2c+2a=6\\ 2cb=ab\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得a，b的值，可得橢圓C的方程；
（2）P（x₀，y₀），可得$\overrightarrow{{A}_{2}M}•\overrightarrow{{A}_{2}P}=0$，即以MP為直徑的圓過點(diǎn)A₂．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}2c+2a=6\\ 2cb=ab\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$．
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
證明：（Ⅱ）由題意知A₁（-2，0），A₂（2，0），…（6分）
設(shè)P（x₀，y₀），
則${l_{{A_1}P}}：y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，得$M（14，\frac{{16{y_0}}}{{{x_0}+2}}））$．
且由點(diǎn)P在橢圓上，得${y_0}^2=3（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）$．…（9分）
所以$\overrightarrow{{A_2}M}•\overrightarrow{{A_2}P}=（12，\frac{{16{y_0}}}{{{x_0}+2}}）•（{x_0}-2，{y_0}）=12（{x_0}-2）+\frac{{16{y_0}^2}}{{{x_0}+2}}$
=$12（{x_0}-2）+\frac{{12（4-{x_0}^2）}}{{{x_0}+2}}=12（{x_0}-2）-\frac{{12（{x_0}-2）（{x_0}+2）}}{{{x_0}+2}}=0$…（13分）
以MP為直徑的圓過點(diǎn)A₂．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單性質(zhì)，向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度中檔．