Question

正方體AC₁中，E，F分別是D₁C₁，DC的中點，N是A₁E的中點，M為正方形A₁ADD₁的中心．
（1）求證：∠ENM=∠C₁FA
（2）求證：平面A₁ME∥平面AFC₁
（3）平面A₁ME與平面AFC₁將正方體分為3部分，求中間部分的體積．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接A₁D、DE，則所要證明的兩角的邊分別平行，利用等角定理證明．
（2）由第（1）問的線線平行關系，利用面面平行的判定定理可解決問題．
（3）先找出截正方體的兩個截面，其中一個截面把正方體等分，另一個截面得三棱錐的體積可求，作差即可求出中間部分的體積．

解答： 解：（1）如圖，連接A₁D、DE


則MN為△A₁DE的中位線，故MN∥DE，而DE∥FC₁，
∴MN∥FC₁，又∵AF∥A₁E，
根據等角定理，∠ENM與∠C₁FA相等或互補，又因為它們都是鈍角，
∴∠ENM=∠C₁FA
（2）由（1）知，MN∥FC₁、AF∥A₁E，
而MN、A₁E是平面A₁ME內的線，
由線面平行的判定定理知，FC₁∥平面A₁ME、AF∥平面A₁ME，
∵FC₁與AF是平面AFC₁內的兩條相交直線，根據面面平行的判定定理知，
平面A₁ME∥平面AFC₁
（3）取A₁B₁的中點G，連接C₁G、AG，
則平面AFC₁G為截面，它把正方體等分成兩部分，
平面A₁DE為平面A₁ME截正方體的截面，
設正方體的棱長為a，則V三棱錐D-A1D1E=

1

3

×

1

2

a×

1

2

a×a=

1

12

a³，
∴V中間部分=

1

2

a3-V三棱錐D-A1D1E=

1

2

a3-

1

12

a3=

5

12

a3

點評：熟練掌握線面平行的判定和性質定理、正方體的性質、三角形的中位線定理、面面平行的判定定理、三棱錐的體積計算公式是解題的關鍵．