如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).
(1)求證:PD⊥面ABE;
(2)在線段PD上是否存在點(diǎn)F,使CF∥面PAB?若存在,指出點(diǎn)F的位置,并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn):直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)要證PD⊥面ABE,按線面垂直的判定定理,要讓PD垂直于平面ABE內(nèi)兩條相交直線,有一條直線能看出垂直,PD⊥AB,因?yàn)锳B⊥AD,PA⊥底面ABCD,所以AB⊥PA,所以AB⊥平面PAD,所以PD⊥AB,另一條直線是PD⊥AE,這是通過證明AE⊥平面PCD得出的.
(2)要找一點(diǎn)F,使CF∥平面PAB,轉(zhuǎn)化成找CF所在的平面和平面PAB平行,可以過C作CG∥AB,作GF∥PA,這樣便容易證明平面CFG∥平面PAB,并且通過邊的關(guān)系找到F點(diǎn)在PD上的位置.
解答: 解:(1)設(shè)PA=AB=BC=a,∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AC=a=PA,E為PC中點(diǎn);
∴AE⊥PC;
∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD;
∴PA⊥CD;
又AC⊥CD;
∴CD⊥平面PAC,AE?平面PAC;
∴CD⊥AE,即AE⊥CD,PC∩CD=C;
∴AE⊥平面PCD,PD?平面PCD;
∴AE⊥PD,即PD⊥AE;
∵AB⊥PA,AB⊥AD;
∴AB⊥平面PAD,PD?平面PAD;
∴AB⊥PD,即PD⊥AB,AB?平面ABE,AE?平面ABE,且AB∩AE=A;
∴PD⊥面ABE.
(2)過C作CG∥AB,交AD于G,過G作GF∥PA交PD于F,連接CF;
∵CG∥AB,AB?平面PAB;
∴CG∥平面PAB,同理GF∥平面PAB;
∴平面CFG∥平面PAB,CF?平面CFG;
∴CF∥平面PAB;
∵∠CAD=30°,AC=a;
∴CD=
3
a
3
,CG=
a
2
,AD=
2
3
a
3
,∠CGD=90°;
∴DG=
3
a
6
DG
AD
=
3
6
a
2
3
a
3
=
1
4
;
∴F點(diǎn)找到了,它在PD上,使DF=
1
4
PD
點(diǎn)評(píng):考查線面垂直的性質(zhì)定理,線面垂直的判定定理,線面平行的判定定理,面面平行的判定定理,面面平行的性質(zhì),注意找一條直線與一平面平行,通過找這條直線所在平面和那個(gè)平面平行的辦法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)直線l:x=ty+
p
2
與拋物線C:y2=2px(p>0,p為常數(shù))交于不同兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)D為拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn).
(Ⅰ)若t=0,且三角形ABD的面積為4,求拋物線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)△ABD為正三角形時(shí),求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

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如圖,在四棱錐S-ABCD中,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,且AD=1,SA=AB=BC=2,E,F(xiàn)分別是SC,SB的中點(diǎn).
(1)求證:SB⊥平面ADEF;
(2)求面SAB與面SCD所成二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為了搞好某次大型會(huì)議的接待工作,組委會(huì)在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿者,將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖(單位:cm)若身高在175cm以上(包括175cm)定義為“高個(gè)子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定義為“非高個(gè)子”,且只有“女高子”才擔(dān)任“禮儀小姐”.
(1)求12名男志愿者的中位數(shù);
(2)如果用分層抽樣的方法從所有“高個(gè)子”“非高個(gè)子”中共抽取5人,再?gòu)倪@5個(gè)人中選2人,那么至少有一個(gè)是“高個(gè)子”的概率是多少?
(3)若從所有“高個(gè)了”中選3名志愿者,用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù),試寫出X的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望.

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某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品,現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A份配方和B份配方)做試驗(yàn),各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗(yàn)結(jié)果:
A份配方的質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表
指標(biāo)值分組〔90,94)〔90,98)〔98,102)〔102,106)〔106,110)
頻數(shù)8b42a8
B份配方的質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表
指標(biāo)值分組〔90,94)〔90,98)〔98,102)〔102,106)〔106,110)
頻數(shù)412423210
(1)若(90,98)的頻率是0.2,求a、b的值;
(2)依據(jù)估計(jì)用A份配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率;
(3)作出B配方抽取的100件產(chǎn)品的頻率分布直方圖.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若x≠0.求
1+x2+x4
-
1+x4
x
的最大值.

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已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-1,0),B(5,0),C(0,-
5
2
)三點(diǎn).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(2),畫出函數(shù)f(x)的圖象,并根據(jù)其圖象出該函數(shù)的定義域與值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻(墻的長(zhǎng)度沒有限制)的矩形菜園.設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm,寬為ym.若菜園面積為72m2,則x,y為何值時(shí),可使所用籬笆總長(zhǎng)最。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:(x+1)2+y2=16及點(diǎn)A(1,0),Q為圓上一點(diǎn),線段AQ的垂直平分線交CQ于M,則點(diǎn)M的軌跡方程
 

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