Question

設(shè)直線l：x=ty+

p

2

與拋物線C：y²=2px（p＞0，p為常數(shù)）交于不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)D為拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)．
（Ⅰ）若t=0，且三角形ABD的面積為4，求拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)△ABD為正三角形時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）t=0時(shí)，不妨設(shè)A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），則|AB|=2p，利用三角形ABD的面積為4，即可求拋物線的方程；
（Ⅱ）直線l：x=ty+

p

2

與拋物線C：y²=2px聯(lián)立可得y²-2pty-p²=0，求出M，D的坐標(biāo)，利用|DM|=

3

2

|AB|，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答： 解：（I）直線x=ty+

p

2

過焦點(diǎn)F（

p

2

，0）
t=0時(shí)，不妨設(shè)A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），則|AB|=2p，
又D點(diǎn)到直線l的距離d=p，
因?yàn)槿�角形ABD的面積為4，
所以

1

2

•2p•p=4，
所以p=2
所以拋物線的方程為y²=4x    …（4分）
（II）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），D（-

p

2

，m），則
直線l：x=ty+

p

2

與拋物線C：y²=2px聯(lián)立可得y²-2pty-p²=0．
則y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-p²，
從而x₁+x₂=2pt²+p
所以線段AB的中點(diǎn)為M（pt²+

p

2

，pt）           …（6分）
由DM⊥AB得

pt-m

pt2+p

=-t，解得m=pt³+2pt
從而D（-

p

2

，pt³+2pt）…（10分）
|DM|=p（t²+1）

t2+1

，|AB|=|AF|+|BF|=2p（t²+1）
由|DM|=

3

2

|AB|得到p（t²+1）

t2+1

=

3

2

×2p（t²+1），…（13分）
解得t=±

2

               …（14分）
此時(shí)，點(diǎn)D（-

p

2

，±4

2

p） …（15分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．