Question

層出不窮的食品安全問題，已經(jīng)極大地影響了公眾對(duì)于食品安全的信心，抓緊食品安全刻不容緩．假設(shè)某種品牌的食品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須要對(duì)四項(xiàng)指標(biāo)依次進(jìn)行檢測(cè)，如果第一項(xiàng)檢測(cè)不合格則不能進(jìn)入市場(chǎng)，則停止檢測(cè)；若第一項(xiàng)檢測(cè)合格，后三項(xiàng)中有兩項(xiàng)檢測(cè)不合格就不能進(jìn)入市場(chǎng)，一旦檢測(cè)出該品牌的食品不能進(jìn)入市場(chǎng)或者能進(jìn)入市場(chǎng)都要停止檢測(cè)．已知每一項(xiàng)檢測(cè)是相互獨(dú)立的，第一項(xiàng)檢測(cè)合格的概率為

4

5

，其余三項(xiàng)每一項(xiàng)檢測(cè)合格的概率都為

2

3

．
（Ⅰ）求該品牌的食品不能進(jìn)入市場(chǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)停止檢測(cè)時(shí)所進(jìn)行的檢測(cè)項(xiàng)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）求出該品牌的食品能進(jìn)入市場(chǎng)的概率，利用對(duì)立事件的概率公式，求出該品牌的食品不能進(jìn)入市場(chǎng)的概率；
（Ⅱ）確定ξ的可能取值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）記“該品牌的食品不能進(jìn)入市場(chǎng)”為事件A，則

.

A

：該品牌的食品能進(jìn)入市場(chǎng)，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

4

5

•[(

2

3

)3+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2]=1-

16

27

=

11

27

，
∴該品牌的食品不能進(jìn)入市場(chǎng)的概率為

11

27

；
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，3，4，則
P（ξ=1）=

1

5

，P（ξ=3）=

4

5

•(

1

3

•

1

3

+

2

3

•

2

3

)=

4

9

，P（ξ=4）=1-

1

5

-

4

9

=

16

45

故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P（ξ）	1 5	4 9	16 45

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

1

5

+3×

4

9

+4×

16

45

=

133

45

．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查概率的應(yīng)用，考查相互獨(dú)立事件的概率公式，屬于中檔題．