Question

（本小題滿分12分）一種藥在病人血液中的含量不低于2克時(shí)，它才能起到有效治療的作用．已知每服用（且）個(gè)單位的藥劑，藥劑在血液中的含量（克）隨著時(shí)間（小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中

（Ⅰ）若病人一次服用3個(gè)單位的藥劑，則有效治療時(shí)間可達(dá)多少小時(shí)？

（Ⅱ）若病人第一次服用2個(gè)單位的藥劑，6個(gè)小時(shí)后再服用個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的2小時(shí)中能夠持續(xù)有效治療，試求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601289600345559_DA/SYS201504080601289600345559_DA.003.png">，所以根據(jù)分段函數(shù)解不等式即可求出結(jié)果;（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601289600345559_DA/SYS201504080601289600345559_DA.007.png">對(duì)恒成立，

利用分離參數(shù)法，即對(duì)恒成立，等價(jià)于，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果. 解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，， 注意到及（且）均關(guān)于在上單調(diào)遞減，則關(guān)于在上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可求出結(jié)果.

試題解析：【解析】
（I）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601289600345559_DA/SYS201504080601289600345559_DA.003.png">，所以． 1分

當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)； 3分

當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)． 5分

綜上所述，．

故若一次服用3個(gè)單位的藥劑，則有效治療的時(shí)間可達(dá)小時(shí)． 6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，， 8分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601289600345559_DA/SYS201504080601289600345559_DA.007.png">對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，

等價(jià)于，． 9分

令，則函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)， 10分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為， 11分

所以，所以所求的的最小值為． 12分

解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，， 8分

注意到及（且）均關(guān)于在上單調(diào)遞減，

則關(guān)于在上單調(diào)遞減， 10分

故，由，得， 11分

所以所求的的最小值為． 12分.

考點(diǎn)： 1.分段函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題；2.一元二次函數(shù)的最值；3.解不等式等.