Question

你能利用如圖，給出下列兩個(gè)等式的一個(gè)證明嗎？

1

2

（sinα+sinβ）=sin

α+β

2

cos

α-β

2

；

1

2

（cosα+cosβ）=cos

α+β

2

cos

α-β

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的求值

分析：求出線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，過M作MM₁垂直于x軸，交x軸于M₁，則直角三角形中，根據(jù)三角形的半徑關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答： 解：線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

（cosα+cosβ），

1

2

（sinα+sinβ））．過M作MM₁垂直于x軸，交x軸于M₁
∠MOM1=

1

2

(β-α)+α=

α+β

2

．
在Rt△OMA中，OM=OAcos

β-α

2

=cos

α-β

2

．
在Rt△OM₁M中，OM₁=OMcos∠MOM₁=cos

α+β

2

cos

α-β

2

．
M₁M=OMsin∠MOM₁=sin

α+β

2

cos

α-β

2

．
于是有

1

2

（sinα+sinβ）=sin

α+β

2

cos

α-β

2

；

1

2

（cosα+cosβ）=cos

α+β

2

cos

α-β

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)式的化簡和證明，根據(jù)三角函數(shù)線之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．