Question

設a＞1，函數(shù)f（x）=x+

a2

4x

，g（x）=x-lnx，若對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：全稱命題

專題：分類討論,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：先求出1≤x≤e時，g（x）的最大值，再求出f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值，根據(jù)題意，比較這兩個最值，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：當1≤x≤e時，g'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，
∴g（x）是增函數(shù)，最大值為g（e）=e-1；
∵f'（x）=1-

a2

4x2

=

4x2-a2

4x2

=

(2x+a)(2x-a)

4x2

，
∴①當1＜a＜2時，f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，最小值為f（1）=1+

a2

4

，
令 1+

a2

4

≥e-1，得2

e-2

≤a＜2；
②當2≤a≤e時，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（a）=

5a

4

，
令

5a

4

≥e-1，解得a≥

4

5

（e-1），取2≤a≤e；
③當a＞e時，f（x）在區(qū)間[1，e]上是減函數(shù)，最小值為f（e）=e+

a2

4e

，
令e+

a2

4e

≥=e-1，解得a²＞-e，取a＞e；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[2

e-2

，+∞）．
故答案為：[2

e-2

，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應用問題，也考查了導數(shù)的綜合應用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的應用問題，是難題．