4、求證:正四面體ABCD中相對的兩棱(即異面的兩棱)互相垂直.
分析:因為ABCD是正四面體,各個面都是等邊三角形,取BC的中點E,則有AE⊥BC,DE⊥BC,從而有BC⊥平面AED,易得結(jié)論.
解答:證明:因為ABCD是正四面體,
各個面都是等邊三角形,
取BC的中點E
∴AE⊥BC,DE⊥BC
∴BC⊥平面AED,
而AD?平面AED,
∴BC⊥AD,
同理可證AB⊥DC,AC⊥DB.
點評:本題主要考查正四面體的結(jié)構(gòu)特征,主要涉及了線線垂直,線面垂直的轉(zhuǎn)化,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正四面體P-ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB、BC、CA的中點,求證:
(1)BC∥平面PDF;   (2)BC⊥平面PAE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖是各棱長均為a的斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠A1AC=∠A1AB=60°.求證:三棱錐A1-ABC是正四面體.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正四面體ABCD的棱長為3cm.
(1)求證:AD⊥BC;
(2)已知點E是CD的中點,點P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運動,且滿足EP∥平面ABD,試求點P的軌跡;
(3)有一個小蟲從點A開始按以下規(guī)則前進:在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一,并且沿著這條棱爬到盡頭,當(dāng)它爬了12cm之后,求恰好回到A點的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆廣東實驗中學(xué)高二上學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)

如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)求證:P-ABC為正四面體;

(2)棱PA上是否存在一點M,使得BM與面ABC所成的角為45°?若存在,求出點M的位置;若不存在,請說明理由。

(3)設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V=, 是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和,并且該平行六面體的一條側(cè)棱與底面兩條棱所成的角均為60°? 若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:湖南省長沙市2009-2010學(xué)年度高一第二次單元考試 題型:選擇題

((8分)在正四面體P—ABC中,D,E,F分別是AB 、BC CA的中點,求證:

(1)BC∥平面PDF;   (2)BC⊥平面PAE

 

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