Question

已知A={y|y=m²+1，-1≤m≤

2

}，求函數(shù)f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A的值域．

Answer 1

分析：由題，可先化簡集合A，由于函數(shù)f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，可采取先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再求外層函數(shù)值域，令t=2^x，則函數(shù)可變?yōu)閒（x）=4t-3t²，t∈[2，8]，求出此二次函數(shù)的值域即可得到函數(shù)f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A的值域．

解答：解：A={y|y=m²+1，-1≤m≤

2

}={y|1≤y≤3}，
又f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A
令t=2^x，可得t∈[2，8]，
則有f（x）=4t-3t²，t∈[2，8]，
∴f（x）=-3（t-

2

3

）²+

4

3

∈[-160，-4]
∴函數(shù)f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A的值域[-160，-4]

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的值域，考察了指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，解題的關(guān)鍵是將求復(fù)合函數(shù)值域的問題轉(zhuǎn)化為兩步求解，先求內(nèi)層函數(shù)值域再求函數(shù)值域，求解中用到了換元法及配方法，解題要注意這些技巧的使用，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想