Question

17．（1）已知函數(shù)f（x）=4x²-kx-8在[5，20]上具有單調(diào)性，求實數(shù)k的取值范圍．
（2）關(guān)于x的方程mx²+2（m+3）x+2m+14=0有兩個不同的實根，且一個大于4，另一個小于4，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要使函數(shù)f（x）=4x²-kx-8在[5，20]上具有單調(diào)性，則$\frac{k}{8}$≤5或$\frac{k}{8}$≥20，解得實數(shù)k的取值范圍．
（2）當m=0時顯然不合題意．當m≠0時，若兩根一個大于4，另一個小于4，則$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\ f（4）＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\ f（4）＞0\end{array}\right.$，解得m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4x²-kx-8的圖象是開口朝上，且以x=$\frac{k}{8}$為對稱軸的拋物線，
要使函數(shù)f（x）=4x²-kx-8在[5，20]上具有單調(diào)性，
則$\frac{k}{8}$≤5或$\frac{k}{8}$≥20，
解得k≤40或k≥160．…（6分）
（2）設(shè)f（x）=mx²+2（m+3）x+2m+14，
當m=0時顯然不合題意．
當m≠0時，若兩根一個大于4，另一個小于4，
則$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\ f（4）＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\ f（4）＞0\end{array}\right.$…（8分）
即$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\ 26m+38＜0\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}m＜0\\ 26m+38＞0\end{array}\right.$…（10分）
從而得$-\frac{19}{13}＜m＜0$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根的個數(shù)及存在性判斷，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．