Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax+1nx（a∈R），g（x）=e^x．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a=0時(shí)，g（x）＞f（x）+2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域是（0，+∞），導(dǎo)函數(shù)$f'（x）=a+\frac{1}{x}，（x＞0）$，通過(guò)1⁰當(dāng)a≥0時(shí)；2⁰當(dāng)a＜0時(shí)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求出函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)令F（X）=e^x-lnx，求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)二次求導(dǎo)，求出函數(shù)的最值，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值即可．

解答 （本小題滿分12分）
解（1）f（x）的定義域是（0，+∞），$f'（x）=a+\frac{1}{x}，（x＞0）$1⁰當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，所以在（0，+∞）單調(diào)遞增；2⁰當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0，解得$x=-\frac{1}{a}$．
則當(dāng)$x∈（0，-\frac{1}{a}）$時(shí)． f'（x）＞0，所以f（x）單調(diào)遞增．當(dāng)$x∈（-\frac{1}{a}，+∞）$時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）單調(diào)遞減．
綜上所述：當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）增區(qū)間是$（0，-\frac{1}{a}）$，減區(qū)間是$（-\frac{1}{a}，+∞）$．                 …（4分）
（2）f（x）=lnx，f（x）與g（x）的公共定義域?yàn)椋?，+∞），
令F（X）=e^x-lnx，$F'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，$F''（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，所以F'（x）單調(diào)遞增
因?yàn)?F'（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0，F(xiàn)'（1）=e-1＞0$，
所以存在唯一${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$使得$F'（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，∴${x_0}={e^{-{x_0}}}$
且當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)F'（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減； 當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)F'（x）＞0，F(xiàn)（x）當(dāng)遞增；
所以${F_{min}}（x）=F（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}={e^{x_0}}+{x_0}＞{e^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}＞1.6+\frac{1}{2}＞2$
故g（x）＞f（x）+2．                                             …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．