Question

△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，若sin∠BAM=

1

3

，則sin∠BAC=（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  6

  3

• C、

  6

  6

• D、

  3

  6

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形

專(zhuān)題：綜合題,解三角形

分析：作出圖象，設(shè)出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=

2c

3a

，進(jìn)而可得cosβ=

2c

3a

，在RT△ACM中，還可得cosβ=

b

( a 2 )2+b2

，建立等式后可得a=

2

b，再由勾股定理可得c=

3

b，即可得出結(jié)論．

解答： 解：如圖，設(shè)AC=b，AB=c，CM=MB=

a

2

，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得

a 2

sin∠BAM

=

c

sin∠AMB

，
代入數(shù)據(jù)解得sin∠AMB=

2c

3a

，
故cosβ=cos（

π

2

-∠AMC）=sin∠AMC=sin（π-∠AMB）
=sin∠AMB=

2c

3a

，
而在RT△ACM中，cosβ=

AC

AM

=

b

( a 2 )2+b2

，
故可得

b

( a 2 )2+b2

2c

3a

，化簡(jiǎn)可得a⁴-4a²b²+4b⁴=（a²-2b²）²=0，
解之可得a=

2

b，再由勾股定理可得a²+b²=c²，聯(lián)立可得c=

3

b，
故在RT△ABC中，sin∠BAC=

BC

AB

=

6

3

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及勾股定理的應(yīng)用，屬中檔題．