Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F是DD1的中點(diǎn)，

（1）求證：CF∥平面A1DE；

（2）求平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CF∥平面A1DE．

（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．

證明：（1）以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），

則，

設(shè)平面A1DE的法向量是

則，取，

∴

所以CF∥平面A1DE．

解：（2）是面A1DA的法向量，

∴

即平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值為．