Question

已知橢圓：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，橢圓左右頂點(diǎn)分別為A、B，且A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4．設(shè)P為橢圓上不同于A、B的任一點(diǎn)，作PQ⊥x軸，Q為垂足．M為線段PQ中點(diǎn)，直線AM交直線l：x=b于點(diǎn)C，D為線段BC中點(diǎn)（如圖）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試判斷O、B、D、M四點(diǎn)是否共圓，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

a2-b2 a = 3 2 2a=4

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）O、B、D、M四點(diǎn)共圓，且圓心為OD的中點(diǎn)．由已知條件得到A（-1，0），B（1，0），直線l：x=1．
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），推導(dǎo)出M(x0，

y0

2

)，C（1，

y0

x0+1

），D（1，

y0

2(x0+1)

），由此利用直角三角形性質(zhì)能證明O、B、D、M在以N為圓心的圓上．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，
橢圓左右頂點(diǎn)分別為A、B，且A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4，
∴

a2-b2 a = 3 2 2a=4

，解得a=2，b=1，
∴橢圓的方程為

y2

4

+x2=1．…（4分）
（Ⅱ）O、B、D、M四點(diǎn)共圓，且圓心為OD的中點(diǎn)．…（5分）
證明如下：
∵橢圓

y2

4

+x2=1左右頂點(diǎn)分別為A、B，
∴A（-1，0），B（1，0），直線l：x=1．
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則點(diǎn)M(x0，

y0

2

)．…（6分）
直線AM：y=

y0

2(x0+1)

(x+1)，令x=1，得C（1，

y0

x0+1

），
∴D（1，

y0

2(x0+1)

）…（8分）
∴

OM

=(x0，

y0

2

)，

DM

=(x0-1，

y0

2

-

y0

2(x0+1)

)=(x0-1，

x0y0

2(x0+1)

)…（10分）
∴

OM

•

DM

=(x0，

y0

2

)•(x0-1，

x0y0

2(x0+1)

)=x0(x0-1)+

x0 y 2 0

4(x0+1)

=

x0(4 x 2 0 -4+ y 2 0 )

4(x0+1)

，（12分）
∵點(diǎn)P（x₀，y₀），∴4

x

2 0

+

y

2 0

=4，
∴

OM

•

DM

=0，∴∠OMD=90°．…（13分）
∴△OMD和△OBD都是直角三角形，
取OD中點(diǎn)N，則由直角三角形性質(zhì)知|NO|=|NB|=|ND|=|NM|，
∴O、B、D、M在以N為圓心的圓上．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查四點(diǎn)共圓的判斷與證明，解題時(shí)要熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．