Question

如圖，拋物線C的頂點為O（0，0），焦點在y軸上，拋物線上的點（x₀，1）到焦點的距離為2．
（Ⅰ）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過直線l：y=x-2上的動點P（除（2，0））作拋物線C的兩條切線，切拋物線于A、B兩點．
（i）求證：直線AB過定點Q，并求出點Q的坐標(biāo)；
（ii） 若直線OA，OB分別交直線l于M、N兩點，求△QMN的面積S的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線上的點（x₀，1）到焦點的距離為2，求出p，從而可求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）（i）求出A、B處切線方程，聯(lián)立可得P的坐標(biāo)，設(shè)直線AB：y=kx+m與拋物線方程聯(lián)立，可得P（2k，-m），P在直線l：y=x-2上，可得m=-2k+2，代入直線AB：y=kx+m，即可得出結(jié)論；
（ii） 求出M，N的橫坐標(biāo)，可得△QMN的面積S，即可確定△QMN的面積S的取值范圍．

解答： （I）解：由已知條件得，1-(-

p

2

)=1+

p

2

=2，∴p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y…（4分）
（II）（i）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y′=

x

2

，
∴A處切線方程為y-y1=

x1

2

(x-x1)，
又∵4y1=

x

2 1

，∴y=

x1

2

x-

x 2 1

4

，（1）
同理B處切線方程為：y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，（2）
（1）（2）聯(lián)立可得

x= x1+x2 2 y= x1x2 4

，即P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．…（6分）
直線AB的斜率顯然存在，設(shè)直線AB：y=kx+m，
由

y=kx+m x2=4y

，可得x²-4kx-4m=0，
∴

x1+x2=4k x1x2=-4m

，即P（2k，-m），
∵P在直線l：y=x-2上，∴m=-2k+2，
即AB直線為y=k（x-2）+2∴直線AB過定點Q（2，2）…（8分）
（ii）∵O不會與A，B重合．
定點Q（2，2）到直線l：y=x-2的距離h=

2

…（9分）
由

y= y1 x1 x y=x-2

⇒xM=

2x1

x1-y1

=

8

4-x1

，
同理得xN=

2x2

x2-y2

=

8

4-x2

，
∴|MN|=

2

|xM-xN|=8

2

|

1

4-x1

-

1

4-x2

|=8

2

|

x1-x2

(4-x1)(4-x2)

|…（11分）
=8

2

|

x1-x2

16-4(x1+x2)+x1x2

|=8

2

|

16k2+16m

-4m-16k+16

|，
∵m=-2k+2，
∴|MN|=4

2

(k-1)2+1

|k-1|

=4

2

1+ 1 (k-1)2

…（14分）
∴S△QMN=

1

2

|MN|•h=4

1+ 1 (k-1)2

∈(4，+∞)…（15分）

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查三角形面積的計算，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．