Question

定義在R上的函數(shù)f（x）不是常數(shù)函數(shù)，且滿足對任意的x有f（x-1）=f（x+1），f（2-x）=f（x），下列5個結論：
①f（x）是單調函數(shù)，
②f（x）的圖象關于x=1對稱，
③f（x）是周期函數(shù)，
④f（x）是偶函數(shù)，
⑤f（x）有最大值和最小值．
其中真命題是（　�。�

• A、②③④
• B、②③⑤
• C、①②⑤
• D、①②③

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：f（x+1）=f（x-1），令x-1=t，則f（t+2）=f（t），所以函數(shù)周期為2．由f（2-x）=f（x），知f（-x）=f[2-（2+x）]=f（2+x），所以f（-x）=f（x），函數(shù)為偶函數(shù)．由f（-x）=f（2+x），知f（x）的圖象關于x=1對稱．函數(shù)時增時減，故f（x）不是單調函數(shù)；f（x）沒有最大值和最小值．

解答： 解：∵f（x+1）=f（x-1），
令x-1=t，則f（t+2）=f（t），
所以函數(shù)周期為2．
∵f（2-x）=f（x），
∴f（-x）=f[2-（2+x）]=f（2+x），
∵函數(shù)周期為2，
∴f（x+2）=f（x），
∴f（-x）=f（x），函數(shù)為偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（2+x），
∴f（x）的圖象關于x=1對稱．
∵函數(shù)時增時減，
∴f（x）不是單調函數(shù)；
∴f（x）沒有最大值和最小值．
其中真命題是②③④．
故選：A．

點評：本題考查函數(shù)的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，屬于基礎題．