Question

（本小題滿(mǎn)分14分）

已知函數(shù)處取得極值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若當(dāng)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）對(duì)任意的是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）b=－2.（Ⅱ）c<－1或c>2. （Ⅲ）恒成立.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵f(x)=x³－x²+bx+c，

∴f′(x)=3x²－x+b.         ……2分

∵f(x)在x=1處取得極值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.             ……3分

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.         ……4分

（Ⅱ）f(x)=x³－x²－2x+c.

∵f′(x)=3x²－x－2=(3x+2)(x－1)，     …5分

x					1	(1,2)	2
f′(x)		+	0	－	0	+
f(x)

                     ……7分

∴當(dāng)x=－時(shí)，f(x)有極大值+c.     

又

∴x∈[－1，2]時(shí)，f(x)最大值為f(2)=2+c.     ……8分

∴c²>2+c.  ∴c<－1或c>2.      …………10分

（Ⅲ）對(duì)任意的恒成立.

由（Ⅱ）可知，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極小值.

又       …12分

∴x∈[－1，2]時(shí)，f(x)最小值為.

，故結(jié)論成立. ……14分

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，不等式恒成立。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考必考內(nèi)容，思路往往比較明確根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性。對(duì)于“恒成立”問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問(wèn)題。