Question

設(shè)D是函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間，若存在x₀∈D，使f（x₀）=-x₀，則稱(chēng)x₀是f（x）的一個(gè)“開(kāi)心點(diǎn)”，也稱(chēng)f（x）在區(qū)間D上存在開(kāi)心點(diǎn)．若函數(shù)f（x）=ax²-2x-2a-

3

2

在區(qū)間[-3，-

3

2

]上存在開(kāi)心點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、[-

  1

  4

  ，0]
• C、[-

  3

  14

  ，0]
• D、[-

  3

  14

  ，-

  1

  4

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)“f（x）在區(qū)間D上有開(kāi)心點(diǎn)”當(dāng)且僅當(dāng)“F（x）=f（x）+x在區(qū)間D上有零點(diǎn)”，依題意，存在x∈[-3，-

3

2

]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-2a-

3

2

+x=0，將a分離出來(lái)，利用導(dǎo)數(shù)研究出等式另一側(cè)函數(shù)的取值范圍，即可求出a的范圍．

解答： 解：依題意，存在x∈[-3，-

3

2

]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-2a-

3

2

+x=0，
解得a=

x+ 3 2

x2-2

，
由a′=

x2-2-2x2-3x

(x2-2)2

=0，求出[-3，-

3

2

]上的x=-2，此時(shí)a=-

1

4

；
當(dāng)x=-3時(shí)，a=-

3

14

；x=-

3

2

時(shí)，a=0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

1

4

，0]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及函數(shù)零點(diǎn)和利用導(dǎo)數(shù)研究最值等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．