Question

已知A、B兩地相距200km，一只船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（8＜v≤v₀），其中v₀為給定的大于12km/h的常數(shù)．若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中速度的平方成正比，當(dāng)v=12km/h時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際速度應(yīng)為多少？（全程燃料費(fèi)=每小時(shí)的燃料費(fèi)×實(shí)際行駛的時(shí)間）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)出正比例函數(shù)L=kv²，代入v=12，L=720，求出k，即可得到L與v的關(guān)系式；確定函數(shù)解析式，利用單調(diào)求最值，從而可得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為y₁，比例系數(shù)為k（k＞0），則y1=kv21分
當(dāng)v=12時(shí)，y₁=720，∴720=k•12²，得k=5                                             3分
設(shè)全程燃料費(fèi)為y，
依題意有y=y1•

200

v-8

=

1000v2

v-8

=1000(v+8+

64

v-8

)=1000(v-8+

64

v-8

+16)≥320006分
當(dāng)v-8=

64

v-8

，即v=16時(shí)取等號，
∵8＜v≤v₀
∴當(dāng)v_°≥16時(shí)，v=16時(shí)全程燃料費(fèi)最�。�                       9分
當(dāng)v_°＜16時(shí)，令t=v-8+

64

v-8

任取8＜v₁＜v₂≤v₀，則0＜v₁-8＜8，0＜v₂＜8，
∴1-

64

(v1-8)(v2-8)

＜0，
∴t1-t2=(v1-v2)(1-

64

(v1-8)(v2-8)

)＞0
即t=v-8+

64

v-8

在（8，v_°]上為減函數(shù)，當(dāng)v=v₀時(shí)，y取最小值

1000 v 2 °

v°-8

13分
綜合得：當(dāng)v_°≥16時(shí)，v=16km/h，實(shí)際船速為8km/h，全程燃料費(fèi)最省，為32000元，當(dāng)v_°＜16時(shí)，當(dāng)v=v₀，實(shí)際船速為（v₀-8）km/h時(shí)，全程燃料費(fèi)最省，為

1000 v 2 °

v°-8

元.14分．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．