Question

已知x=0是函數(shù)f（x）=（x²+bx）e^ax（a≥0）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若y=f（x）-m恰有一零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=（2x+b）e^ax+a（x²+bx）e^ax=（ax²+（ab+2）x+b）e^ax，代入f′（0）=b=0；
（2）y=f（x）-m恰有一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=m有且只有一個(gè)交點(diǎn)，從而討論a的不同取值，從而求m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+bx）e^ax，
∴f′（x）=（2x+b）e^ax+a（x²+bx）e^ax
=（ax²+（ab+2）x+b）e^ax，
∴f′（0）=b=0，
即b=0；
（2）故f（x）=x²e^ax，f′（x）=（ax²+2x）e^ax，
①若a=0，則f（x）=x²，
則若使y=f（x）-m恰有一零點(diǎn)，
則m=0；
②若a＞0，則f（x）=x²e^ax有兩個(gè)極值點(diǎn)，
f_極大值（x）=f（-

2

a

）=

4

a2e2

，
f_極小值（x）=f（0）=0，
故若使y=f（x）-m恰有一零點(diǎn)，
則m＞

4

a2e2

或m＜0．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及極值的應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的關(guān)系，屬于中檔題．