Question

求下列函數(shù)的最大值和最小值．
（1）y=2sin（2x+

π

4

）+1；
（2）y=-cos²x+cosx+

7

4

；
（3）y=

3sinx-1

sinx+2

；
（4）y=3-4cos（2x+

π

3

），x∈[-

π

3

，

π

6

]．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）當sin（2x+

π

4

）分別取1和-1時，函數(shù)取最大值和最小值，代入計算可得；
（2）配方可得y=-（cosx-

1

2

）²+2，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（3）變形可得y=3-

7

sinx+2

，由反比例函數(shù)的單調性易得；
（4）由x的范圍結合三角函數(shù)的性質逐步可得y的范圍，即得答案．

解答： 解：（1）當sin（2x+

π

4

）=1時，y=2sin（2x+

π

4

）+1取最大值3；
當sin（2x+

π

4

）=-1時，y=2sin（2x+

π

4

）+1取最小值-1；
（2）配方可得y=-cos²x+cosx+

7

4

=-（cosx-

1

2

）²+2，
故當cosx=

1

2

時，原函數(shù)取最大值2，
當cosx=-1時，原函數(shù)取最小值-

1

4

；
（3）y=

3sinx-1

sinx+2

=

3(sinx+2)-7

sinx+2

=3-

7

sinx+2

，
當sinx=-1時，原函數(shù)取最小值-4，
當sinx=1時，原函數(shù)取最大值

2

3

；
（4）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]，∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴cos（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，∴-4cos（2x+

π

3

）∈[-4，2]，
∴y=3-4cos（2x+

π

3

）∈[-1，5]，
∴y=3-4cos（2x+

π

3

），x∈[-

π

3

，

π

6

]的最大值和最小值分別為5和-1

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎題．