Question

（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2.在梯形ACEF中，EF//AC，且平面ABCD.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若二面角為45°，求CE的長(zhǎng).

Answer 1

（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（1）證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形等等；證明線線垂直常通過(guò)線面垂直；（2）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：（Ⅰ）證明：在中,，

所以,由勾股定理知所以 . 2分

又因?yàn)?⊥平面，平面，所以 ． 4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070906041867403713/SYS201507090604237992884578_DA/SYS201507090604237992884578_DA.011.png"> 所以 ⊥平面，又平面

所以 . 6分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070906041867403713/SYS201507090604237992884578_DA/SYS201507090604237992884578_DA.007.png">⊥平面，又由（Ⅰ）知，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .

設(shè)，則,,，,，. 8分

設(shè)平面的法向量為，則 所以，令.所以. 9分

又平面的法向量 10分

所以， 解得 . 11分

所以的長(zhǎng)為. 12分

考點(diǎn)：線線垂直及求線段的長(zhǎng)