Question

5．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P．
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面BFDE；
（Ⅱ）求四棱錐P-BFDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接EF交BD于O，連接OP，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，可得EF⊥OP，又EF?平面BFDE，即可證得平面PBD⊥平面BFDE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的證明可知平面POD⊥平面DEF，進(jìn)一步得到∠OPD=90°，作PH⊥OD于H，則PH⊥平面DEF，求出PH的值，則答案可求．

解答 （Ⅰ）證明：連接EF交BD于O，連接OP．
在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，
∴BE=BF，DE=DF，
∴△DEB≌△DFB，
∴在等腰△DEF中，O是EF的中點(diǎn)，且EF⊥OD，
因此在等腰△PEF中，EF⊥OP，
從而EF⊥平面OPD，
又EF?平面BFDE，
∴平面BFDE⊥平面OPD，
即平面PBD⊥平面BFDE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的證明可知平面POD⊥平面DEF，
可得，$OP=OE=OF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$OD=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，PD=2，
由于$O{P^2}+P{D^2}=O{D^2}=\frac{18}{4}$，
∴∠OPD=90°，
作PH⊥OD于H，則PH⊥平面DEF，
在Rt△POD中，由OD•PH=OP•PD，得$PH=\frac{2}{3}$．
又四邊形BFDE的面積$S=\frac{1}{2}EF•BD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2$，
∴四棱錐P-BFDE的體積$V=\frac{1}{3}S•PH=\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間面面垂直的判定與性質(zhì)、空間面面夾角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．