分析 (Ⅰ)連接EF交BD于O,連接OP,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是AB中點(diǎn),點(diǎn)F是BC中點(diǎn),可得EF⊥OP,又EF?平面BFDE,即可證得平面PBD⊥平面BFDE;
(Ⅱ)由(Ⅰ)的證明可知平面POD⊥平面DEF,進(jìn)一步得到∠OPD=90°,作PH⊥OD于H,則PH⊥平面DEF,求出PH的值,則答案可求.
解答 (Ⅰ)證明:連接EF交BD于O,連接OP.
在正方形ABCD中,點(diǎn)E是AB中點(diǎn),點(diǎn)F是BC中點(diǎn),
∴BE=BF,DE=DF,
∴△DEB≌△DFB,
∴在等腰△DEF中,O是EF的中點(diǎn),且EF⊥OD,
因此在等腰△PEF中,EF⊥OP,
從而EF⊥平面OPD,
又EF?平面BFDE,
∴平面BFDE⊥平面OPD,
即平面PBD⊥平面BFDE;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)的證明可知平面POD⊥平面DEF,
可得,$OP=OE=OF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,$OD=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$,PD=2,
由于$O{P^2}+P{D^2}=O{D^2}=\frac{18}{4}$,
∴∠OPD=90°,
作PH⊥OD于H,則PH⊥平面DEF,
在Rt△POD中,由OD•PH=OP•PD,得$PH=\frac{2}{3}$.
又四邊形BFDE的面積$S=\frac{1}{2}EF•BD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2$,
∴四棱錐P-BFDE的體積$V=\frac{1}{3}S•PH=\frac{4}{9}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間面面垂直的判定與性質(zhì)、空間面面夾角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,是中檔題.
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A. | 20 | B. | 21 | C. | 22 | D. | 23 |
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A. | $f(x)=2sin({x-\frac{π}{6}})$ | B. | $f(x)=2sin({2x-\frac{π}{3}})$ | C. | $f(x)=2sin({x+\frac{π}{12}})$ | D. | $f(x)=2sin({2x-\frac{π}{6}})$ |
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A. | 6 | B. | 36 | C. | 48 | D. | 120 |
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A. | 44,45,56 | B. | 44,43,57 | C. | 44,43,56 | D. | 45,43,57 |
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A. | (0,$\frac{1}{4}$] | B. | [0,$\frac{3}{8}$] | C. | ($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$] | D. | ($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$) |
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